Mätenheter

Även om teman är mätenheter väljer jag att börja med potenser och avsluta med decibel. Enkel sagt potenser är upprepade multiplikationer med sig själv. Här menar jag att “sig själv” kallas bas och de upprepade multiplikationer indikeras med exponenter:

bas^{exponent}

Till exempel a upphöjd till 5 säger att basen a ska multiplicera med sig själv fem gånger:

a^{5}=a*a*a*a*a*

När stora tal kommer till hantering kan de förkortas just med hjälp av potenser särskilt potenser med bas 10. Detta är känd som “tiopotenser”

10^{6}=10*10*10*10*10*10=1000000

Egentligen kan multiplikation ovan uppfattas från en annan vinkel där ett tal är alltid upphöjt till ett och vid multiplikation av potenser med samma bas kan exponenterna adderas.

10^{6}=10^{1}*10^{1}*10^{1}*10^{1}*10^{1}*10^{1}=10^{1+1+1+1+1+1}=10^{6}

Kan vi tänka på samma vis om exponenterna är negativa? Ja det kan vi göra det.

10^{-3}=10^{-1}*10^{-1}*10^{-1}=10^{-1-1-1}=10^{-3}

Vi använder ofta tiopotenser för att förkorta långa tal eller ange ett värde så att vi människor har lättare att förstå.

10^{-2}=10^{-1}*10^{-1}=\frac{1}{10^{1}}*\frac{1}{10^{1}}=\frac{1}{10^{2}}=0.01

Det ger oss möjlighet att flytta en potens från täljaren till nämnaren eller nämnaren till täljaren bara vi byter exponentens tecknet.

1 cm =1*10^{-2} m=1*\frac{1}{10^{2}} m=0,01 m

Vad säger till dig följande: 8,3682 fW uttryckt i Watt?

8,3682*10^{-15}W=0,000000000000083682 W

Att talet är jätte litet eller att den har många siffror. Tack vare tiopotenserna är lättare att ange och uppfatta sådana tal. Men tiopotenser ensamt säger inte tillräckligt, vi behöver också logaritmer relaterade till tiopotenser. Det vill säga tiologaritmer.

Tiologaritmer

Som sagt tiologaritmer relateras till tiopotenser. Logaritmer används när man hanterar flersiffriga stora eller små tal.

10^{0}=1\rightarrow lg (1) = 0

10^{1}=10\rightarrow lg (10) = 1

10^{2}=100\rightarrow lg (100) = 2

10^{3}=1000\rightarrow lg (1000) = 3

10^{4}=10000\rightarrow lg (10000) = 4

10^{5}=100000\rightarrow lg (100000) = 5

10^{6}=1000000\rightarrow lg (1000000) = 6

Ser du ett visst mönster ovan?

  • Logaritmen av tiotal är tiotalets exponent.
  • Antal nollor avgör logaritmens värde
  • I exemplen ovan ingen noll, 1 noll, 2 nollor, 3 nollor och så vidare.

Matematiskt säger man att det finns flera lagar exempelvis:

y=10^{x}\rightarrow lg (y)=lg(10^{x})\rightarrow lg(y)=x*lg(10)\rightarrow x=lg(y)

Det är också viktig att veta att logaritmer gäller endast när y är större än noll. Detta kan illustreras med bilden nedan. Observera att grafen rör inte origo där koordinaterna är (0,0)!

Bilden visar en graf som inte går genom origo (0,0). Som exempel visas koordinaterna y= 7 men x är svårt att läsa av. Vi kan beräkna det värdet med hjälp av logaritm.

Om y = 7 vad är x = ?

x=lg(7)=0,845009804\approx 0,85

Varför denna typ av matematik?

Tiopotenser hjälper oss att hantera och förstå olika för stor eller för små värde. Dessa värde kan beräknas med hjälp av logaritmer och förenkla värdena så att de är hanterbara.

Vi vill mäta styrkan i de radiovågor som strålas ut av antennen, vi vill också mäta förändringar i signalerna, vi vill gärna jämföra antennernas kapacitet eller effektivitet så att säga. Det är då som matematik yttrar sig och ger oss redskap för att hantera absoluta och relativa värde.

När radiovågens effekt mäts i watt eller milliwatt anses värdena absoluta. Ibland behöver man just räkna ut skillnader mellan olika sändare exempelvis när olika sändare jämförs med varandra då använder vi relativa värde. Bilden nedan illustrerar att den första manen till vänster är 1,85 cm lång och den andra är femte sjättedel lång som den första.

Mätenheter

Absoluta:

  • Watt (W)
  • milliwatt (mW)
  • decibel relaterad till 1 mW (dBm)

Relativa

  • decibel (dB)
  • decibel relativ till en isotrop antenn (dBi)
  • decibel relativ till en halv-våg dipol antenn (dBd)

decibel (dB)

Decibel är en enhet som kan visa hur bra en mottagare är, hur mycket en antennkabel dämpar eller hur mycket en antenn kan koncentrera (göra starkare) signalen. I trådlös kommunikation används decibel som en referens till jämförelse mellan insignalens styrka och utsignalens styrka.

Mer om decibel (dB) på nästa inlägg.