dB matematik

Den grundläggande definition av decibel är en relativ enhet som är relaterad till ett förhållande mellan två värden in och ut. Detta kan illustreras som effekt in, effekt ut (Power):

Den gröna lådan kan föreställa en förstärkare A.

\dpi{100} \large X_{ut}=A*X_{in}\rightarrow \frac{X_{ut}}{X_{in}}=\frac{A*X_{in}}{X_{in}}\rightarrow \frac{X_{ut}}{X_{in}}=A{\color{DarkBlue} }

Det matematiska uppställning ovan kan tolkas som A visar förhållande mellan effekt ut jämförd med effekt in, den ursprungliga, men A är enhetslös. För att ge A en enhet behöver vi enheten bel.

Matematiskt att ge A enheten bel (B) kan det gå så här:

\dpi{100} \fn_jvn \large A_{B}=lg(A)=lg(\frac{x_{ut}}{x_{in}})\rightarrow A_{B}=lg(\frac{x_{ut}}{x_{in}})

Nu har A fått enheten bel (B). Men vad händer om in-effekt och uteffekt är lika? Det innebär att inget har ändrats och att insignalen är lika stark som den kommer ut från förstärkare.

\dpi{100} \large A_{B}=lg(\frac{x_{in}}{x_{in}})=lg(1)=0 B

Så ingen förändring är noll bel (0 B).

Vad händer om uteffekten blir 10 gånger starkare en in-effekten? Detta kan tolkas som in-effekt är lika stor som uteffekt men 10 gånger större.

\dpi{100} \large A_{B}=lg(\frac{10x_{in}}{1x_{in}})=lg(10)=1 B

Det innebär att 1 bel är egentligen en förändring med faktorn 10!

  • 1 B = 10 ggr skillnad
  • 2 B = 10 * 10 = 100 ggr skillnad
  • 3 B = 10*10*10 = 1000 ggr skillnad

Här finns möjlighet att inkludera 10 i formeln och då får vi decibel istället!

\dpi{100} \large A_{dB}=10*lg(A)=10*lg(\frac{x_{ut}}{x_{in}})

När ingen förändring sker mellan in- och uteffekt har vi sett att det motsvarar 0 B. Det samma sker med decibel där ingen förändring/skillnad är 0 dB.

Vad menas med decibel?

Ljudets styrka uttrycks i decibel, till exempel när du hör din egna andning är 10 dB, när du viskar är 20 dB och en normal konversation mellan två personer lägger sig på 60 dB. I exemplen har vi ökat ljudets styrka.

I trådlös kommunikationsteknik används flitigt decibel begreppet just för att beskriva skillnader mellan in och uteffekt. Till exempel in-effekt på 0,1 W har blivit uteffekt på 50 W. Hur beskriver vi skillnaden matematiskt ? Det är uppenbart att den tiondels Watt har blivit 50 Watt, men hur kan skillnaden uttryckas och betecknas?

\dpi{100} \large P_{ut}=10*lg(\frac{P_{ut}}{P_{in}})=10*lg(\frac{50W}{0,1W})=27 dB

Skillnaden kan betecknas som 27 dB, men den ger inte skillnadens dimensionen. Vi behöver lära oss mer om decibel, men samtidigt inte den matematik som skulle ge oss bättre förståelse exempelvis via logaritmer. Vi behöver enklare matematik relaterad till decibel.

Vi utgår från att decibel är en relativ enhet och det betyder att den används vid jämförelser. Man måste ha en referens att  jämföra med och några regler:

  • 0 dB ger ingen skillnad vilket kan också uppfattas som är det samma, ingen förändring. Att säga 0 dB = 1 också är ett sätt att säga ingen förändring.
  • +3 dB är dubbel så mycket än referensen
  • -3 dB är hälften så mycket än referensen
  • +10 dB är tio gånger så mycket än referensen
  • -10 dB är en tiondel så mycket än referensen

Nu bygger vi upp en enkel tabell som kommer att underlätta beräkningar, ungefär som multiplikationstabellen vi lärde oss som små.

Skillnad dB värde
Ingen ändring, ett värde in och samma värde ut 0
dubbel, 2 3 (plus 3)
dubbel, 4 6 (plus 3)
dubbel, 8 9 (plus 3)
ggr 10 10 (plus 10)
ggr 100 (10*10) 20 (plus 10)
ggr 1000 (100*10) 30 (plus 10)
ggr 10 000 (1000*10) 40 (plus 10)
ggr 100 000 (10000*10) 50 (plus 10)
ggr 1000000 (100000*10) 60 (plus 10)

Nu kan vi tolka 27 dB.

  • 30 dB = 1000 ggr och då kan vi dra av 3 dB vilket innebär att skillnaden halveras.
  • 27 dB = 500 Detta säger till oss att uteffekten är 500 ggr starkare än in-effekten.

Ett exempel till:

Antag att vi har 3 förstärkare A1, A2, och A3 (se bilden nedan).  Antag också att in-effekt är 0,1 mW

Hur stor blir uteffekten?

\dpi{100} \large P_{ut}=P_{in}*A_{1}*A_{2}*A_{3}=0,1mW*(100*0,1*1000)=

\dpi{100} \large P_{ut}=0,1*10^{-3}*(10^{2}*10^{-1}*10^{3})=0,1*10^{-3}*10^{4}

\dpi{100} \large P_{ut}=0,1*10=1W

Så 0,1 mW har blivit 1 W. Nu beräknar i decibel så att vi kan beskriva skillnaden.

Det som är viktig här är förstärkarna, det vill säga 100 ggr = 20 dB, 0,1 är en tiondel = -10 dB, och 1000 ggr = 30 dB sätter vi ihop dem:

20 + (-10) + 30 = 40 dB och 30 dB = 10000

uteffekten är 10 000 ggr starkare än in-effekten.

dBm

Effekt mäts i Watt [W]. Vid jämförelser övergår vi till decibel, men decibel är en relativ måttenhet vilket innebär att decibel inte kan användas direkt när man vill ange en absolut effekt. Däremot kan man relatera till en absolut effekt och på så sätt använda dB-begreppet som absolut måttenhet.

0 dB = 1 mW

Vid beräkningar förekommer positiva och negativa värde som ska tolkas så här:

  • Positiv dBm värde betyder större än 1 mW
  • Negativa dBm värde betyder mindre än 1 mW
  • Observera att 30 dBm = 1000 mW vilket är 1 W

Exempel

Samma tre förstärkare A1, A2, och A3 (se bilden nedan).  Antag också att in-effekt är -10 dBm.

Hur stor är uteffekt?

\dpi{100} \large P_{ut}=P_{in}+A_{1}+A_{2}+A_{3}=-10dBm+20dB+(-10)dB+30dB

\dpi{100} \large P_{ut}=-10+20-10+30=30dBm=1W

Alltså det samma när vi räknade istället i dB, det vill säga med referens till ggr.

Exempel

Vad blir 24 dBm i W?

  • 30 dBm = 1 W
  • 27 dBm = 0,5 W
  • 24 dBm = 0,250 W

Exempel

En sändare som har en insignal på 100 mW förstärker signalen till 200 mW. Vad motsvarar 200 mW i dBm?

  • 1 mW = 0 dBm
  • 10 mW = 10 dBm
    • 10 * 1 mW = 0 + 10 dBm
  • 100 mW = 20 dBm
    • 10 * 10 mW = 10 + 10 dBm
  • 200 mW = 23 dBm
    • 2 * 100 mW = 20 + 3 dBm

Exempel

Ange uteffekt 20 mW i decibel. Observera att effekten i mW är känd

  • 1 mW = 0 dBm
  • 10 mW = 10 dBm
    • 10 * 1 mW = 0 + 10 dBm
  • 20 mW = 13 dBm
    • 2 * 10 mW = 10 + 3 dB
  • 0,02 W = 13 dB

Via logaritm:

\dpi{100} \large P_{ut}=10*log(20)=13 dB

Exempel

Ange uteffekt 13 dB i mW. Observera att effekten i dB är känd

\dpi{100} \large P_{ut}=10^{\frac{13}{10}}\approx 20 mW

Exempel

Hur stor är effekten -26 dBm?

  • -26 dB = -10 dB – 10 dB – 3 dB – 3 dB
  • – 10 dB betyder en tiondel av 1 mW

\dpi{100} \large \frac{1mW}{10}=\frac{1*10^{-3}W}{10}=1*10^{-3}*10^{-1}W=1*10^{-4}W

\dpi{100} \large \frac{1mW}{10}=1*10^{2}*10^{-6}W=100\mu W

  • en gång till – 10 dB men denna gång är lättare beräkna en tiondel av 100 μW som är 10 μW
  • -3 dB innebär halvering. Då 10 μW blir 5 μW
  • -3 dB innebär en halvering. Då 5 μW blir 2,5 μW
  • -26 dBm = 2,5 μW